Упр.33.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: а) $$z\operatorname{Re} z=1$$; б) $$z\operatorname{Re} z=-1$$; в) $$z(\operatorname{Re} z)^2=1$$; г) $$z(\operatorname{Re} z)^2=-1$$.

Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x=\operatorname{Re} z.$$ Тогда во всех пунктах используем, что $$\operatorname{Re} z=x.$$

а)

$$z\,\operatorname{Re} z=1$$

$$\left(x+yi\right)x=1$$

$$x^2+xyi=1+0i$$

Сравнивая действительную и мнимую части, получаем:

$$\begin{cases} x^2=1,\\ xy=0. \end{cases}$$

Из $$x^2=1$$ имеем $$x=\pm1$$. Тогда из $$xy=0$$ следует $$y=0$$.

Значит, $$z=\pm1.$$

б)

$$z\,\operatorname{Re} z=-1$$

$$\left(x+yi\right)x=-1$$

$$x^2+xyi=-1+0i$$

Тогда

$$\begin{cases} x^2=-1,\\ xy=0. \end{cases}$$

Но уравнение $$x^2=-1$$ не имеет действительных решений. Следовательно, решений нет.

в)

$$z\left(\operatorname{Re} z\right)^2=1$$

$$\left(x+yi\right)x^2=1$$

$$x^3+x^2yi=1+0i$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} x^3=1,\\ x^2y=0. \end{cases}$$

Из $$x^3=1$$ следует $$x=1$$, а из $$x^2y=0$$ тогда $$y=0$$.

Значит, $$z=1.$$

г)

$$z\left(\operatorname{Re} z\right)^2=-1$$

$$\left(x+yi\right)x^2=-1$$

$$x^3+x^2yi=-1+0i$$

Тогда

$$\begin{cases} x^3=-1,\\ x^2y=0. \end{cases}$$

Из $$x^3=-1$$ получаем $$x=-1$$, а из $$x^2y=0$$ следует $$y=0$$.

Значит, $$z=-1.$$

Ответ

а) $$z=\pm1$$; б) решений нет; в) $$z=1$$; г) $$z=-1$$.