Упр.33 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{(x+1)(2-x)}{x^2-x-2}\ge 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$

Тогда

$$\frac{(x+1)(2-x)}{(x-2)(x+1)}\ge 0.$$

Сокращать на $$x+1$$ нельзя, так как $$x=-1$$ не входит в область допустимых значений. Учитываем ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne 2.$$

Так как $$2-x=-(x-2),$$ получаем

$$\frac{(x+1)(2-x)}{(x-2)(x+1)}=\frac{-(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+1)}=-1,$$

при всех допустимых $$x.$$ Следовательно, неравенство $$-1\ge 0$$ не выполняется.

Ответ: решений нет.

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{-2}{2x^2-11x+12}\le 0.$$

Числитель отрицателен, поэтому дробь будет неположительной тогда и только тогда, когда знаменатель положителен:

$$2x^2-11x+12>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$2x^2-11x+12=0,$$

$$D=121-96=25,$$

$$x_{1,2}=\frac{11\pm 5}{4},\quad x_1=\frac32,\; x_2=4.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$2x^2-11x+12>0 \quad \text{при} \quad x\in(-\infty,\tfrac32)\cup(4,+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty,\tfrac32)\cup(4,+\infty).$$

в) Рассмотрим неравенство

$$\frac{(x-2)(2x-1)}{2x^2+7x+3}\ge 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3).$$

Тогда

$$\frac{(x-2)(2x-1)}{(2x+1)(x+3)}\ge 0.$$

Нули числителя: $$x=2,\; x=\frac12.$$

Нули знаменателя: $$x=-3,\; x=-\frac12.$$

По знакам на промежутках получаем

$$x\in(-\infty,-3)\cup\left[-\frac12,\frac12\right)\cup[2,+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty,-3)\cup\left[-\frac12,\frac12\right)\cup[2,+\infty).$$

г) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-4x+3}{x^2-6x+5}\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$

$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5).$$

Тогда

$$\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-5)}\ge 0.$$

ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne 5.$$ После сокращения получаем

$$\frac{x-3}{x-5}\ge 0,\quad x\ne 1.$$

Критические точки: $$x=3,\; x=5.$$ По знакам дроби:

$$x\in(-\infty,3]\cup(5,+\infty),\quad x\ne 1.$$

Итак,

$$x\in(-\infty,1)\cup(1,3]\cup(5,+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty,1)\cup(1,3]\cup(5,+\infty).$$