Упр.33.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Для $$n=1,2,3,4,5,6$$ изобразите на координатной плоскости точки $$z_n=(n+1)+\frac{3i}{n}$$.
   б) Докажите, что все эти точки лежат на одной гиперболе; составьте уравнение гиперболы.
   в) Укажите точку, наиболее близкую к оси абсцисс.
   г) Укажите точку, наиболее близкую к началу координат.

Пусть $$z_n=(n+1)+\frac{3}{n}i.$$ Тогда координаты точки $$z_n$$ на комплексной плоскости имеют вид $$x=n+1,\quad y=\frac{3}{n}.$$

а)

Для $$n=1,2,3,4,5,6$$ получаем:

$$z_1=2+3i,\quad z_2=3+1{,}5i,\quad z_3=4+i,\quad z_4=5+0{,}75i,\quad z_5=6+0{,}6i,\quad z_6=7+0{,}5i.$$

б)

Из $$x=n+1$$ находим $$n=x-1$$. Подставим в выражение для $$y$$:

$$y=\frac{3}{n}=\frac{3}{x-1}.$$

Следовательно, все точки лежат на гиперболе

$$y=\frac{3}{x-1}.$$

в)

Расстояние точки $$z_n$$ до оси абсцисс равно модулю её мнимой части, то есть $$\frac{3}{n}.$$ Это расстояние наименьшее при наибольшем $$n$$, значит при $$n=6$$.

Искомая точка:

$$z_6=7+0{,}5i.$$

г)

Найдём расстояния от точек до начала координат:

$$d_n=\sqrt{(n+1)^2+\left(\frac{3}{n}\right)^2}.$$

Для $$n=1,2,3,4,5,6$$:

$$d_1=\sqrt{13},\quad d_2=\sqrt{11{,}25},\quad d_3=\sqrt{17},\quad d_4>\sqrt{17},\quad d_5>\sqrt{17},\quad d_6>\sqrt{17}.$$

Наименьшее расстояние имеет точка при $$n=2$$.

Значит, ближе всего к началу координат точка

$$z_2=3+1{,}5i.$$

Ответ

а) $$z_1=2+3i,\ z_2=3+1{,}5i,\ z_3=4+i,\ z_4=5+0{,}75i,\ z_5=6+0{,}6i,\ z_6=7+0{,}5i.$$
б) $$y=\frac{3}{x-1}.$$
в) $$z_6=7+0{,}5i.$$
г) $$z_2=3+1{,}5i.$$