Упр.33.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Для $$n=1,2,3,4$$ изобразите на координатной плоскости точки $$z_n=(2n-1)+(5-n)i$$; б) докажите, что все эти точки лежат на одной прямой $$l$$; составьте уравнение прямой; в) укажите число, лежащее на прямой $$l$$, у которого $$\operatorname{Re} z=-5$$; г) укажите число, лежащее на прямой $$l$$, у которого $$\operatorname{Im} z=8$$.

Пусть $$z_n=(2n-1)+(5-n)i.$$ Тогда для заданных значений $$n$$ получаем:

$$z_1=(2\cdot1-1)+(5-1)i=1+4i,$$
$$z_2=(2\cdot2-1)+(5-2)i=3+3i,$$
$$z_3=(2\cdot3-1)+(5-3)i=5+2i,$$
$$z_4=(2\cdot4-1)+(5-4)i=7+i.$$

Эти точки на координатной плоскости имеют координаты $$\left(1,4\right),\left(3,3\right),\left(5,2\right),\left(7,1\right).$$

Ход решения

Обозначим $$x=\operatorname{Re} z,$$ $$y=\operatorname{Im} z.$$ Тогда

$$x=2n-1,$$
$$2n=x+1,$$
$$n=\frac{x+1}{2}.$$

Подставим это в выражение для $$y$$:

$$y=5-n=5-\frac{x+1}{2}=\frac{9-x}{2}=4{,}5-0{,}5x.$$

Значит, все точки лежат на одной прямой $$l$$, уравнение которой:

$$y=4{,}5-0{,}5x.$$

Найдём числа, лежащие на этой прямой.

Если $$\operatorname{Re} z=-5,$$ то $$x=-5$$, и

$$y=4{,}5-0{,}5\cdot(-5)=4{,}5+2{,}5=7.$$

Следовательно,

$$z=-5+7i.$$

Если $$\operatorname{Im} z=8,$$ то $$y=8$$, и

$$8=4{,}5-0{,}5x,$$
$$0{,}5x=-3{,}5,$$
$$x=-7.$$

Следовательно,

$$z=-7+8i.$$

Ответ

а) $$z_1=1+4i,\ z_2=3+3i,\ z_3=5+2i,\ z_4=7+i$$;
б) $$y=4{,}5-0{,}5x$$;
в) $$-5+7i$$;
г) $$-7+8i$$.