Упр.33.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Пусть $$z_1=-3+i,\quad z_2=5+2i.$$
а)
Изобразим числа $$z_1$$ и $$z_2$$ на координатной плоскости как точки с координатами $$(-3;1)$$ и $$(5;2).$$
б)
Найдём, при каком $$a$$ число $$az_1+z_2$$ является чисто мнимым:
$$az_1+z_2=a(-3+i)+(5+2i)=(-3a+5)+(a+2)i.$$
Чтобы число было чисто мнимым, его действительная часть должна быть равна нулю:
$$-3a+5=0,$$
откуда
$$3a=5,\quad a=\frac{5}{3}.$$
Тогда
$$az_1=\frac{5}{3}(-3+i)=-5+\frac{5}{3}i,$$
и
$$az_1+z_2=\left(-5+\frac{5}{3}i\right)+(5+2i)=\frac{11}{3}i.$$
в)
При $$a=\frac{5}{3}$$ сумма $$az_1+z_2$$ равна
$$\frac{11}{3}i,$$
то есть это точка $$\left(0;\frac{11}{3}\right).$$
г)
Найдём, при каком $$a$$ число $$az_1+z_2$$ является действительным:
$$az_1+z_2=(-3a+5)+(a+2)i.$$
Для действительного числа мнимая часть должна быть равна нулю:
$$a+2=0,$$
откуда
$$a=-2.$$
Тогда
$$az_1=-2(-3+i)=6-2i,$$
и
$$az_1+z_2=(6-2i)+(5+2i)=11.$$
Ответ: $$a=\frac{5}{3}$$; $$az_1+z_2=\frac{11}{3}i$$; $$a=-2$$; $$az_1+z_2=11.$$
