Упр.33.15 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Изобразите на координатной плоскости числа $$z_1=-3+i$$ и $$z_2=5+2i$$.
   б) Найдите действительный коэффициент $$a$$, при котором $$z_1+az_2$$ — чисто мнимое число.
   в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел $$z_1$$ и $$az_2$$ из пункта б).
   г) Найдите действительный коэффициент $$a$$, при котором $$z_1+az_2$$ — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел $$z_1$$ и $$az_2$$.

Пусть $$z_1=-3+i,\qquad z_2=5+2i.$$

а)

На координатной плоскости комплексному числу $$x+yi$$ соответствует точка $$\left(x;\,y\right).$$ Поэтому

$$z_1\leftrightarrow (-3;\,1),\qquad z_2\leftrightarrow (5;\,2).$$

б)

Найдём $$a$$ из условия, что число $$z_1+az_2$$ чисто мнимое:

$$z_1+az_2=(-3+i)+a(5+2i)=(5a-3)+(2a+1)i.$$

Для чисто мнимого числа действительная часть должна быть равна нулю:

$$5a-3=0,$$

$$a=\frac35.$$

в)

При $$a=\frac35$$ имеем

$$az_2=\frac35(5+2i)=3+\frac65 i,$$

$$z_1+az_2=(-3+i)+\left(3+\frac65 i\right)=\frac{11}{5}i.$$

Геометрически это сумма векторов $$z_1$$ и $$\frac35 z_2$$ по правилу параллелограмма; результат лежит на мнимой оси.

г)

Найдём $$a$$ из условия, что число $$z_1+az_2$$ действительное:

$$z_1+az_2=(5a-3)+(2a+1)i.$$

Для действительного числа мнимая часть должна быть равна нулю:

$$2a+1=0,$$

$$a=-\frac12.$$

Тогда

$$az_2=-\frac12(5+2i)=-\frac52-i,$$

$$z_1+az_2=(-3+i)+\left(-\frac52-i\right)=-\frac{11}{2}.$$

Это действительное число, значит сумма изображается на действительной оси.

Ответ: а) $$(-3;\,1)$$ и $$(5;\,2)$$; б) $$a=\frac35$$; в) $$z_1+az_2=\frac{11}{5}i$$; г) $$a=-\frac12$$, $$z_1+az_2=-\frac{11}{2}.$$