Упр.32.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным $$i$$, и знаменателем, равным $$-i$$. а) Выпишите первые 7 членов этой прогрессии; б) найдите значение 27-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых 2007 членов прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.

Подробный ответ

Дана геометрическая прогрессия $$b_1=i,\quad q=-i.$$

Выпишем первые 7 членов:
$$b_1=i,$$
$$b_2=b_1q=i\cdot(-i)=-i^2=1,$$
$$b_3=b_2q=1\cdot(-i)=-i,$$
$$b_4=b_3q=(-i)\cdot(-i)=i^2=-1,$$
$$b_5=b_4q=(-1)\cdot(-i)=i,$$
$$b_6=b_5q=i\cdot(-i)=1,$$
$$b_7=b_6q=1\cdot(-i)=-i.$$
Получаем: $$i;\ 1;\ -i;\ -1;\ i;\ 1;\ -i.$$
Найдём $$27$$-й член:
$$b_{27}=b_1q^{26}=i\cdot(-i)^{26}=i\cdot i^{26}=i\cdot(i^2)^{13}=i\cdot(-1)^{13}=-i.$$
Найдём сумму первых $$2007$$ членов:
$$S_{2007}=\frac{b_1(q^{2007}-1)}{q-1}=\frac{i\bigl((-i)^{2007}-1\bigr)}{-i-1}.$$
Так как $$(-i)^{2007}=-i^{2007}=-i\cdot(i^2)^{1003}=-i\cdot(-1)^{1003}=i,$$ то
$$S_{2007}=\frac{i(i-1)}{-i-1}=\frac{i^2-i}{-i-1}=\frac{-1-i}{-i-1}=1.$$
Найдём сумму членов прогрессии с $$15$$-го по $$30$$-й:
$$S_{15\text{—}30}=S_{30}-S_{14}.$$
$$S_{14}=\frac{i\bigl((-i)^{14}-1\bigr)}{-i-1},\qquad S_{30}=\frac{i\bigl((-i)^{30}-1\bigr)}{-i-1}.$$
Так как $$(-i)^{14}=i^{14}=(i^2)^7=(-1)^7=-1,$$ а $$(-i)^{30}=i^{30}=(i^2)^{15}=(-1)^{15}=-1,$$ то
$$S_{14}=\frac{i(-1-1)}{-i-1}=\frac{-2i}{-i-1},\qquad S_{30}=\frac{i(-1-1)}{-i-1}=\frac{-2i}{-i-1}.$$
Следовательно,
$$S_{15\text{—}30}=S_{30}-S_{14}=0.$$