Упр.32.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$(-i)^3$$; б) $$(-2i)^5$$; в) $$-i^{22}-(-i)^{22}$$; г) $$i^3+i^5+i^7+\ldots+i^{2005}$$.

а) $$(-i)^3 = (-i)^2 \cdot (-i) = i^2 \cdot (-i) = -1 \cdot (-i) = i.$$

Ответ: $$i$$

б) $$(-2i)^5 = (-2i)^4 \cdot (-2i) = 16 \cdot i^4 \cdot (-2i) = 16 \cdot (-2i) = -32i.$$

Ответ: $$-32i$$

в) $$-i^{22} — (-i)^{22} = -(i^2)^{11} — \bigl((-i)^2\bigr)^{11} = -(-1)^{11} — (-1)^{11} = 1 + 1 = 2.$$

Ответ: $$2$$

г) $$i^3 + i^5 + i^7 + \dots + i^{2005} = i\,(i^2 + i^4 + i^6 + \dots + i^{2004})$$

$$= i\bigl((-1) + (-1) + (-1) + \dots + (-1)\bigr).$$

Здесь число слагаемых равно $$\frac{2005-3}{2}+1=1002,$$ поэтому

$$i\cdot(-1+1-1+1-\dots+1)=i\cdot 0=0.$$

Ответ: $$0$$