Упр.32.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Укажите хотя бы одно значение параметра $$a$$, при котором у уравнения $$3x^2+ax+6=0$$: а) оба корня целые, но не натуральные числа; б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число; в) оба корня действительные, но не рациональные числа; г) укажите все значения $$a$$, при которых действительных корней нет.

Рассмотрим квадратное уравнение $$3x^2+ax+6=0.$$

Его дискриминант:

$$D=a^2-4\cdot 3\cdot 6=a^2-72.$$

Тогда корни равны

$$x=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-72}}{6}.$$

1. Оба корня целые, но не натуральные числа.

   Пусть $$\sqrt{a^2-72}=3.$$ Тогда

   $$a^2-72=9,\quad a^2=81,\quad a=9.$$

   При $$a=9$$ получаем корни $$x_1=-1$$ и $$x_2=-2$$ — оба целые и не натуральные.

2. Оба корня рациональные, но только один из них — целое число.

   Возьмём $$\sqrt{a^2-72}=7.$$ Тогда

   $$a^2-72=49,\quad a^2=121,\quad a=\pm 11.$$

   При $$a=11$$ корни $$x_1=-\frac{2}{3}$$ и $$x_2=-3$$, то есть оба рациональные, и только один из них — целое число.

3. Оба корня действительные, но не рациональные числа.

   Возьмём $$\sqrt{a^2-72}=\sqrt{28}.$$ Тогда

   $$a^2-72=28,\quad a^2=100,\quad a=10.$$

   При $$a=10$$ корни действительные, но иррациональные.

4. Действительных корней нет, если дискриминант отрицателен:

   $$a^2-72<0,$$

   $$a^2<72,$$

   $$-6\sqrt{2}<a<6\sqrt{2}.$$

Ответ: а) $$a=9$$; б) $$a=11$$; в) $$a=10$$; г) $$-6\sqrt{2}<a<6\sqrt{2}$$.