Упр.32.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Среди корней уравнения $$z+1=\frac{1}{z+1}$$ найдите корень: а) у которого действительная часть наименьшая; б) у которого мнимая часть наименьшая; в) который ближе всего расположен к началу координат; г) который ближе всего расположен к числу $$i$$.

Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\overline{z}=x-yi.$$

Преобразуем уравнение:

$$\overline{z}+1=\frac{1}{z+1}$$

$$(\overline{z}+1)(z+1)=1$$

$$(x-yi+1)(x+yi+1)=1$$

$$(x+1)^2+y^2=1.$$

Это окружность с центром $$(-1,0)$$ и радиусом $$1.$$

Тогда:

1. наименьшая действительная часть у точки с наименьшей абсциссой: $$z=-2;$$
2. наименьшая мнимая часть у точки с наименьшей ординатой: $$z=-1-i;$$
3. ближе всего к началу координат расположен корень $$z=0;$$
4. ближе всего к числу $$i$$ расположен корень, ближайший к точке $$(0,1)$$ на окружности. Это точка с углом $$45^\circ,$$ поэтому

$$x=-1+\cos 45^\circ=-1+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}},$$

$$y=\sin 45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Значит,

$$z=\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i.$$

Ответ: а) $$-2$$; б) $$-1-i$$; в) $$0$$; г) $$\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i.$$