Упр.32.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Среди корней уравнения $$z^2 + (z)^2 = 8$$ укажите все корни: а) с нулевой мнимой частью; б) с мнимой частью, равной 1; в) у которых действительная часть равна мнимой части; г) у которых действительная часть в три раза больше положительной мнимой части.

Пусть $$z=x+yi,$$ тогда $$\overline z=x-yi.$$

Из уравнения

$$z^2+(\overline z)^2=8$$

получаем:

$$\begin{aligned} (x+yi)^2+(x-yi)^2&=8,\\ x^2+2xyi-y^2+x^2-2xyi-y^2&=8,\\ 2x^2-2y^2&=8,\\ x^2-y^2&=4. \end{aligned}$$

а) Нулевая мнимая часть

Если $$y=0,$$ то

$$x^2=4,$$

откуда $$x=\pm 2.$$

Значит, $$z=\pm 2.$$

б) Мнимая часть равна $$1$$

Если $$y=1,$$ то

$$x^2-1=4,$$

следовательно,

$$x^2=5,\quad x=\pm\sqrt5.$$

Значит, $$z=\pm\sqrt5+i.$$

в) Действительная часть равна мнимой

Если $$x=y,$$ то из уравнения $$x^2-y^2=4$$ получаем

$$0=4,$$

что невозможно. Следовательно, таких корней нет.

г) Действительная часть в три раза больше положительной мнимой части

Пусть $$x=3y,$$ где $$y>0.$$ Тогда

$$\begin{aligned} x^2-y^2&=4,\\ (3y)^2-y^2&=4,\\ 8y^2&=4,\\ y^2&=\frac12,\\ y&=\frac1{\sqrt2}. \end{aligned}$$

Тогда

$$x=3y=\frac3{\sqrt2}.$$

Значит, $$z=\frac{3+i}{\sqrt2}.$$

Ответ

а) $$\pm 2$$; б) $$\pm\sqrt5+i$$; в) корней нет; г) $$\dfrac{3+i}{\sqrt2}$$.