Упр.32.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Дано: $$z_1=3+2i$$; $$z_2=-2+3i$$. Найдите:

а) $$\frac{z_1-z_2}{z_1}$$; б) $$\frac{(z_1+z_2)^2}{z_1-z_2}$$; в) $$\frac{z_2}{z_2+z_1}$$; г) $$\frac{z_2-2z_1}{(z_2+z_1)^3}$$.

Пусть $$z_1=3+2i,\quad z_2=-2+3i.$$ Найдём значения выражений.

1. $$\frac{z_1-z_2}{z_1} =\frac{(3+2i)-(-2+3i)}{3+2i} =\frac{5-i}{3+2i} =\frac{(5-i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)} =\frac{13-13i}{13} =1-i.$$

2. $$\frac{(z_1+z_2)^2}{z_1-z_2} =\frac{((3+2i)+(-2+3i))^2}{(3+2i)-(-2+3i)} =\frac{(1+5i)^2}{5-i} =\frac{-24+10i}{5-i} =\frac{(-24+10i)(5+i)}{(5-i)(5+i)} =\frac{-130+26i}{26} =-5+i.$$

3. $$\frac{z_2}{z_2+z_1} =\frac{-2+3i}{(-2+3i)+(3+2i)} =\frac{-2+3i}{1+5i} =\frac{(-2+3i)(1-5i)}{(1+5i)(1-5i)} =\frac{13+13i}{26} =\frac{1+i}{2}.$$

4. $$\frac{z_2-2z_1}{(z_2+z_1)^3} =\frac{(-2+3i)-2(3+2i)}{(1+5i)^3} =\frac{-8-i}{(1+5i)^3}.$$

   Вычислим куб:

   $$(1+5i)^2=-24+10i,$$

   $$(1+5i)^3=(-24+10i)(1+5i)=-74-110i.$$

   Тогда

   $$\frac{-8-i}{-74-110i} =\frac{(-8-i)(-74+110i)}{(-74-110i)(-74+110i)} =\frac{482-798i}{17636} =\frac{241-399i}{8818}.$$

Ответ: $$1-i;\ -5+i;\ \frac{1+i}{2};\ \frac{241-399i}{8818}.$$