Упр.32.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Дано: $$z_1=1-i$$, $$z_2=4+i$$. Найдите: а) $$\frac{z_1}{z_2}$$; б) $$\frac{z_1^2}{z_2^2}$$; в) $$\frac{z_1}{z_2}$$; г) $$\frac{z_1^2}{z_2}$$.

Пусть $$z_1=1-i,\quad z_2=4+i.$$ Тогда

1. $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{1-i}{4+i}=\frac{(1-i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{4-i-4i+i^2}{16-i^2}=\frac{3-5i}{17}.$$

2. $$\frac{z_1^2}{z_2^2}=\frac{(1-i)^2}{(4+i)^2}=\frac{1-2i+i^2}{16+8i+i^2}=\frac{-2i}{15+8i}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $$15-8i$$:

   $$\frac{-2i}{15+8i}=\frac{-2i(15-8i)}{(15+8i)(15-8i)}=\frac{-30i+16i^2}{225-64i^2}=\frac{-16-30i}{289}.$$

3. $$\frac{\overline{z_1}}{z_2}=\frac{1+i}{4+i}=\frac{(1+i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{4-i+4i-i^2}{16-i^2}=\frac{5+3i}{17}.$$

4. $$\frac{\overline{z_1}^2}{z_2}=\frac{(1+i)^2}{4+i}=\frac{1+2i+i^2}{4+i}=\frac{2i}{4+i}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$4-i$$:

   $$\frac{2i}{4+i}=\frac{2i(4-i)}{(4+i)(4-i)}=\frac{8i-2i^2}{16-i^2}=\frac{2+8i}{17}.$$

Ответ: $$\frac{3-5i}{17};\ \frac{-16-30i}{289};\ \frac{5+3i}{17};\ \frac{2+8i}{17}.$$