Упр.32.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. По заданному сопряженному числу $$z$$ восстановите комплексное число $$z$$ и вычислите произведение $$zz$$ и частное $$z:z$$. а) $$z=2i$$; б) $$z=-3i$$; в) $$z=1-i$$; г) $$z=-1+3i$$.

Если $$\overline z=a+bi,$$ то $$z=a-bi.$$ Тогда произведение $$z\overline z$$ равно модулю числа в квадрате, а частное $$\dfrac{z}{\overline z}$$ находим подстановкой.

1. $$\overline z=2i$$

   $$z=-2i$$

   $$z\overline z=(-2i)\cdot 2i=-4i^2=4$$

   $$\frac{z}{\overline z}=\frac{-2i}{2i}=-1$$

2. $$\overline z=-3i$$

   $$z=3i$$

   $$z\overline z=3i\cdot(-3i)=-9i^2=9$$

   $$\frac{z}{\overline z}=\frac{3i}{-3i}=-1$$

3. $$\overline z=1-i$$

   $$z=1+i$$

   $$z\overline z=(1+i)(1-i)=1-i^2=2$$

   $$\frac{z}{\overline z}=\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+2i+i^2}{1-i^2}=\frac{2i}{2}=i$$

4. $$\overline z=-1+3i$$

   $$z=-1-3i$$

   $$z\overline z=(-1-3i)(-1+3i)=1-9i^2=10$$

   $$\frac{z}{\overline z}=\frac{-1-3i}{-1+3i}=\frac{(-1-3i)^2}{(-1+3i)(-1-3i)}=\frac{1+6i+9i^2}{10}=\frac{-8+6i}{10}=-0{,}8+0{,}6i$$

Ответ: а) $$z=-2i,$$ $$z\overline z=4,$$ $$\dfrac{z}{\overline z}=-1;$$ б) $$z=3i,$$ $$z\overline z=9,$$ $$\dfrac{z}{\overline z}=-1;$$ в) $$z=1+i,$$ $$z\overline z=2,$$ $$\dfrac{z}{\overline z}=i;$$ г) $$z=-1-3i,$$ $$z\overline z=10,$$ $$\dfrac{z}{\overline z}=-0{,}8+0{,}6i.$$