Упр.32.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких действительных значениях $$a$$ число $$z=(2-ai)^3-(3-ai)^2+5+a(1-a^2i)$$: а) является действительным; б) является чисто мнимым?

$$z=(2-ai)^3-(3-ai)^2+5+a(1-a^2i)$$

Раскроем скобки:

$$(2-ai)^3=8-12ai+6a^2i^2-a^3i^3=8-12ai-6a^2+a^3i,$$

$$(3-ai)^2=9-6ai+a^2i^2=9-6ai-a^2.$$

Тогда

$$\begin{aligned} z&=(8-12ai-6a^2+a^3i)-(9-6ai-a^2)+5+a-a^3i \\ &=4-6ai-5a^2+a. \end{aligned}$$

То есть

$$z=(-5a^2+a+4)-6ai.$$

Ответ

а) Чтобы число $$z$$ было действительным, нужно, чтобы его мнимая часть была равна нулю:

$$-6a=0 \Rightarrow a=0.$$

б) Чтобы число $$z$$ было чисто мнимым, нужно, чтобы его действительная часть была равна нулю:

$$-5a^2+a+4=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$5a^2-a-4=0,$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 5\cdot(-4)=1+80=81,$$

$$a=\frac{1\pm 9}{10}.$$

Получаем:

$$a_1=1,\qquad a_2=-\frac45=-0{,}8.$$

Ответ: а) $$0$$; б) $$1,\,-0{,}8$$.