Упр.32.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Докажите, что число $$(-b+i\sqrt{a})+(b-i\sqrt{a})$$ при любых действительных значениях $$a\geq 0$$ и $$b$$ является действительным.
   б) Вычислите $$\left(2+i\sqrt{5}\right)^3+\left(2-i\sqrt{5}\right)^3$$.

а) Рассмотрим сумму:

$$(-b+i\sqrt{a})^3+(b-i\sqrt{a})^3.$$

Раскроем кубы по формуле $$(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$$:

$$(-b+i\sqrt{a})^3=-b^3+3b^2i\sqrt{a}-3bi^2a-i^3a\sqrt{a},$$

$$(b-i\sqrt{a})^3=b^3-3b^2i\sqrt{a}-3bi^2a+i^3a\sqrt{a}.$$

Сложим полученные выражения:

$$(-b+i\sqrt{a})^3+(b-i\sqrt{a})^3=-6bi^2a.$$

Так как $$i^2=-1$$, то

$$-6bi^2a=6ab,$$

а это действительное число.

б) Вычислим:

$$(2+i\sqrt{5})^3+(2-i\sqrt{5})^3.$$

По той же формуле:

$$(2+i\sqrt{5})^3=8+12i\sqrt{5}+3\cdot 2\cdot (i\sqrt{5})^2+(i\sqrt{5})^3,$$

$$(2-i\sqrt{5})^3=8-12i\sqrt{5}+3\cdot 2\cdot (-i\sqrt{5})^2+(-i\sqrt{5})^3.$$

При сложении мнимые части сокращаются:

$$(2+i\sqrt{5})^3+(2-i\sqrt{5})^3=16+60i^2.$$

Так как $$i^2=-1$$, получаем:

$$16+60i^2=16-60=-44.$$

Ответ

а) $$6ab$$; б) $$-44$$.