Упр.32.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Для комплексного числа $$z$$ найдите сопряжённое число $$\overline{z}$$ и вычислите произведение $$z\overline{z}$$ и частное $$\frac{z}{\overline{z}}$$:
а) $$z=i$$;
б) $$z=-i$$;
в) $$z=3-7i$$;
г) $$z=-5-6i$$.
Для комплексного числа $$z=a+bi$$ сопряжённое число имеет вид $$\overline{z}=a-bi.$$
$$z=i$$
$$\overline{z}=-i$$
$$z\overline{z}=i\cdot(-i)=-i^2=1$$
$$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{-i}{i}=-1$$
$$z=-i$$
$$\overline{z}=i$$
$$z\overline{z}=(-i)\cdot i=-i^2=1$$
$$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{i}{-i}=-1$$
$$z=3-7i$$
$$\overline{z}=3+7i$$
$$z\overline{z}=(3-7i)(3+7i)=9-49i^2=58$$
$$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{3+7i}{3-7i}=\frac{(3+7i)^2}{(3-7i)(3+7i)}=\frac{9+42i+49i^2}{58}=\frac{-40+42i}{58}=\frac{-20+21i}{29}$$
$$z=-5-6i$$
$$\overline{z}=-5+6i$$
$$z\overline{z}=(-5-6i)(-5+6i)=25-36i^2=61$$
$$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{-5+6i}{-5-6i}=\frac{(-5+6i)^2}{(-5-6i)(-5+6i)}=\frac{25-60i+36i^2}{61}=\frac{-11-60i}{61}$$
Ответ: а) $$\overline{z}=-i,$$ $$z\overline{z}=1,$$ $$\frac{\overline{z}}{z}=-1$$; б) $$\overline{z}=i,$$ $$z\overline{z}=1,$$ $$\frac{\overline{z}}{z}=-1$$; в) $$\overline{z}=3+7i,$$ $$z\overline{z}=58,$$ $$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{-20+21i}{29}$$; г) $$\overline{z}=-5+6i,$$ $$z\overline{z}=61,$$ $$\frac{\overline{z}}{z}=\frac{-11-60i}{61}$$.
