Упр.32.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Укажите хотя бы одно значение параметра $$a$$, при котором уравнение $$2x^2+4x+a=0$$ имеет:
   а) оба корня целые, но не натуральные числа;
   б) оба корня рациональные, но не целые числа;
   в) оба корня действительные, но не рациональные числа;
   г) укажите все значения $$a$$, при которых действительных корней нет.

Рассмотрим уравнение $$2x^2+4x+a=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 2\cdot a=16-8a.$$

Тогда корни равны

$$x=\frac{-4\pm\sqrt{16-8a}}{4}=-1\pm\sqrt{1-\frac a2}.$$

1. Оба корня целые, но не натуральные числа.

   Возьмём $$\sqrt{1-\frac a2}=1.$$ Тогда

   $$1-\frac a2=1,\qquad a=0.$$

   При этом $$x_1=-1+1=0,\qquad x_2=-1-1=-2,$$ оба корня целые и не натуральные.

2. Оба корня рациональные, но не целые числа.

   Возьмём $$\sqrt{1-\frac a2}=\frac12.$$ Тогда

   $$1-\frac a2=\frac14,\qquad \frac a2=\frac34,\qquad a=\frac32.$$

   Тогда

   $$x_1=-1+\frac12=-\frac12,\qquad x_2=-1-\frac12=-\frac32,$$

   оба корня рациональные, но не целые.

3. Оба корня действительные, но не рациональные числа.

   Возьмём $$\sqrt{1-\frac a2}=\sqrt2.$$ Тогда

   $$1-\frac a2=2,\qquad \frac a2=-1,\qquad a=-2.$$

   Получаем

   $$x_1=-1+\sqrt2,\qquad x_2=-1-\sqrt2,$$

   это действительные, но иррациональные числа.

4. Действительных корней нет, если дискриминант отрицателен:

   $$16-8a<0,$$

   $$8a>16,\qquad a>2.$$

Ответ: а) $$a=0$$; б) $$a=\frac32$$; в) $$a=-2$$; г) $$a>2.$$