Упр.32.28 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите действительные числа $$a$$ и $$b$$, для которых верно равенство $$\frac{z_1}{z_2}=a\frac{z_2}{z_1}+bz_2$$, если:

а) $$z_1=i$$, $$z_2=2$$;

б) $$z_1=1+i$$, $$z_2=1-i$$;

в) $$z_1=1+2i$$, $$z_2=1-2i$$;

г) $$z_1=1+i$$, $$z_2=1+2i$$.

Пусть

$$\frac{z_1}{z_2}=a\frac{z_2}{z_1}+bz_2,$$

где $$a$$ и $$b$$ — действительные числа. Подставим данные значения $$z_1$$ и $$z_2$$ и приравняем действительную и мнимую части.

1. $$z_1=i,\ z_2=2$$

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{i}{2}=0+\frac12 i,\qquad \frac{z_2}{z_1}=\frac{2}{i}=-2i$$

   Тогда
   $$a\frac{z_2}{z_1}+bz_2=-2ai+2b.$$
   Сравнивая части, получаем
   $$2b=0,\qquad -2a=\frac12.$$
   Отсюда
   $$b=0,\qquad a=-\frac14.$$

2. $$z_1=1+i,\ z_2=1-i$$

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+i}{1-i}=i,\qquad \frac{z_2}{z_1}=\frac{1-i}{1+i}=-i$$

   Тогда
   $$a\frac{z_2}{z_1}+bz_2=-ai+b(1-i)=b+(-a-b)i.$$
   Приравниваем части:
   $$b=0,\qquad -a-b=1.$$
   Значит,
   $$b=0,\qquad a=-1.$$

3. $$z_1=1+2i,\ z_2=1-2i$$

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+2i}{1-2i}=\frac{(1+2i)^2}{1+4}=\frac{-3+4i}{5}=-\frac35+\frac45 i,$$
   $$\frac{z_2}{z_1}=\frac{1-2i}{1+2i}=\frac{(1-2i)^2}{1+4}=\frac{-3-4i}{5}=-\frac35-\frac45 i.$$

   Тогда
   $$a\frac{z_2}{z_1}+bz_2 =a\left(-\frac35-\frac45 i\right)+b(1-2i) =\left(b-\frac35a\right)+\left(-2b-\frac45a\right)i.$$
   Сравнивая с $$-\frac35+\frac45 i$$, получаем систему:
   $$\begin{cases} b-\frac35a=-\frac35,\\ -2b-\frac45a=\frac45. \end{cases}$$
   Решая её, находим
   $$a=\frac15,\qquad b=-\frac25.$$

4. $$z_1=1+i,\ z_2=1+2i$$

   $$\frac{z_1}{z_2}=\frac{1+i}{1+2i}=\frac{(1+i)(1-2i)}{1+4}=\frac{3-i}{5}=\frac35-\frac15 i,$$
   $$\frac{z_2}{z_1}=\frac{1+2i}{1+i}=\frac{(1+2i)(1-i)}{1+1}=\frac{3+i}{2}=\frac32+\frac12 i.$$

   Тогда
   $$a\frac{z_2}{z_1}+bz_2 =a\left(\frac32+\frac12 i\right)+b(1+2i) =\left(\frac32a+b\right)+\left(\frac12a+2b\right)i.$$
   Приравниваем части:
   $$\begin{cases} \frac32a+b=\frac35,\\ \frac12a+2b=-\frac15. \end{cases}$$
   Решая систему, получаем
   $$a=\frac{14}{25},\qquad b=-\frac{6}{25}.$$

Ответ

а) $$a=-\frac14,\ b=0$$;
б) $$a=-1,\ b=0$$;
в) $$a=\frac15,\ b=-\frac25$$;
г) $$a=\frac{14}{25},\ b=-\frac{6}{25}$$.