Упр.32.27 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$iz=1-i$$;
   б) $$(1+i)z=1-i$$;
   в) $$(1+i)z=i$$;
   г) $$(1+i)^2z=(1-i)^3$$.

а) $$iz=1-i$$

$$z=\frac{1-i}{i}=\frac{(1-i)i}{i^2}=\frac{i-i^2}{-1}=-\,(i+1)=-1-i.$$

Ответ: $$-1-i.$$

б) $$\left(1+i\right)z=1-i$$

$$z=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{1-2i+i^2}{1-i^2}=\frac{1-2i-1}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i.$$

Ответ: $$-i.$$

в) $$\left(1+i\right)z=i$$

$$z=\frac{i}{1+i}=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^2}{1-i^2}=\frac{i+1}{2}=\frac{1+i}{2}.$$

Ответ: $$\frac{1+i}{2}.$$

г) $$\left(1+i\right)^2z=\left(1-i\right)^3$$

$$z=\frac{(1-i)^3}{(1+i)^2}.$$

Вычислим числитель и знаменатель:

$$\left(1-i\right)^3=\left(1-i\right)^2(1-i)=\left(1-2i+i^2\right)(1-i)=(-2i)(1-i)=-2-2i,$$

$$\left(1+i\right)^2=1+2i+i^2=2i.$$

Тогда

$$z=\frac{-2-2i}{2i}=\frac{-1-i}{i}=\frac{(-1-i)i}{i^2}=\frac{-i-i^2}{-1}=-\,(1-i)=-1+i.$$

Ответ: $$-1+i.$$