Упр.32.26 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{2i^4+3i^5}{(2+3i)(8+i)}+\frac{i^6(2-i)^4}{(3-4i)(8-i)}$$; б) $$\frac{2i^{16}-3i^9}{(2-3i)^2}+\frac{(1+2i)^4}{(3-4i)(24-7i)}+\frac{93-36i}{325}$$

а) Упростим выражение:

$$\left(\left(\frac{i}{1+i}\right):(1+2i)\right):(1+3i)$$

Сначала найдём

$$\frac{i}{1+i}=\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^2}{1-i^2}=\frac{i+1}{2}.$$

Тогда

$$\left(\frac{i+1}{2}:(1+2i)\right):(1+3i)=\frac{i+1}{2(1+2i)(1+3i)}.$$

Упростим по шагам:

$$\frac{i+1}{2(1+2i)}=\frac{(i+1)(1-2i)}{2(1+4)}=\frac{3-i}{10},$$

$$\frac{3-i}{10(1+3i)}=\frac{(3-i)(1-3i)}{10(1+9)}=\frac{-i}{10}=-0{,}1i.$$

б) Упростим выражение:

$$i:\left(\left(1+i\right):\left((1+2i):(1+3i)\right)\right)$$

Сначала вычислим внутреннюю дробь:

$$\frac{1+2i}{1+3i}=\frac{(1+2i)(1-3i)}{1+9}=\frac{7-i}{10}.$$

Тогда

$$i:\left((1+i):\frac{7-i}{10}\right)=i:\left(\frac{10(1+i)}{7-i}\right)=i\cdot\frac{7-i}{10(1+i)}.$$

Упростим:

$$\frac{7-i}{1+i}=\frac{(7-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{6-8i}{2}=3-4i,$$

значит

$$i\cdot\frac{7-i}{10(1+i)}=\frac{i(3-4i)}{10}=\frac{4+3i}{10}=0{,}4+0{,}3i.$$

Ответ

а) $$-0{,}1i$$; б) $$0{,}4+0{,}3i$$.