Упр.32.26(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\frac{2i^4+3i^5}{(2+3i)(8+i)}+\frac{(2-i)^4}{(3-4i)(8-i)}i^6$$

Так как $$i^4=1,\quad i^5=i,\quad i^6=-1,$$ получаем

$$\frac{2i^4+3i^5}{(2+3i)(8+i)}=\frac{2+3i}{(2+3i)(8+i)}=\frac{1}{8+i}=\frac{8-i}{65}.$$

Кроме того,

$$(2-i)^4=\bigl((2-i)^2\bigr)^2=(3-4i)^2,$$

поэтому

$$\frac{(2-i)^4}{(3-4i)(8-i)}i^6=-\frac{(3-4i)^2}{(3-4i)(8-i)}=-\frac{3-4i}{8-i}=-\frac{(3-4i)(8+i)}{65}=\frac{-28+29i}{65}.$$

Тогда

$$\frac{8-i}{65}+\frac{-28+29i}{65}=\frac{-20+28i}{65}.$$

б) $$\frac{2i^{16}-3i^9}{(2-3i)^2}+\frac{(1+2i)^4}{(3-4i)(24-7i)}+\frac{93-36i}{325}$$

Так как $$i^{16}=1,\quad i^9=i,$$ то

$$\frac{2i^{16}-3i^9}{(2-3i)^2}=\frac{2-3i}{(2-3i)^2}=\frac{1}{2-3i}=\frac{2+3i}{13}.$$

Далее,

$$(1+2i)^4=\bigl((1+2i)^2\bigr)^2=(-3+4i)^2=(3-4i)^2,$$

значит

$$\frac{(1+2i)^4}{(3-4i)(24-7i)}=\frac{(3-4i)^2}{(3-4i)(24-7i)}=\frac{3-4i}{24-7i}=\frac{(3-4i)(24+7i)}{625}=\frac{100-75i}{625}=\frac{4-3i}{25}.$$

Тогда

$$\frac{2+3i}{13}+\frac{4-3i}{25}+\frac{93-36i}{325}=\frac{25(2+3i)+13(4-3i)+(93-36i)}{325}=\frac{195}{325}=\frac{3}{5}.$$

Ответ

а) $$\frac{-20+28i}{65}$$; б) $$\frac{3}{5}$$.