Упр.32.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным $$i$$, и знаменателем, равным $$1-i$$. а) Найдите третий член прогрессии. б) Найдите девятый член прогрессии. в) На каких местах в этой прогрессии расположены чисто мнимые числа? г) На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа?

Подробный ответ

Дана геометрическая прогрессия: $$b_1=i,\quad q=1-i.$$

Найдём третий член прогрессии:
$$b_3=b_1q^{2}=i(1-i)^2=i(1-2i+i^2)=i(1-2i-1)=i(-2i)=-2i^2=2.$$
Найдём девятый член прогрессии:
$$b_9=b_1q^{8}=i(1-i)^8.$$
Так как $$1-i=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right),$$ то
$$(1-i)^8=(\sqrt{2})^8\left(\cos(-2\pi)+i\sin(-2\pi)\right)=16.$$
Следовательно,
$$b_9=16i.$$
Найдём, на каких местах стоят чисто мнимые числа.
Общий член:
$$b_n=i(1-i)^{n-1}.$$
Представим $$1-i$$ в тригонометрической форме:
$$1-i=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).$$
Тогда
$$b_n=i(\sqrt{2})^{\,n-1}\left(\cos\left(-\frac{(n-1)\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{(n-1)\pi}{4}\right)\right).$$
Чтобы число было чисто мнимым, его аргумент должен давать множитель $$\pm i$$, то есть
$$\cos\left(-\frac{(n-1)\pi}{4}\right)=0.$$
Это возможно при
$$\frac{n-1}{4}=k,\quad k\in\mathbb{Z},$$
откуда
$$n=4k+1.$$
Найдём, на каких местах стоят действительные числа.
Для действительных чисел нужно, чтобы множитель при $$i$$ исчезал, то есть
$$\sin\left(-\frac{(n-1)\pi}{4}\right)=0.$$
Это выполняется при
$$\frac{n-1}{4}=k+\frac12,\quad k\in\mathbb{Z},$$
то есть
$$n=4k+3.$$