Упр.32 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

108

Рассмотрим каждое неравенство.

1. $$x^2-5x+15>0$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 15=25-60=-35<0.$$

   Так как $$a=1>0$$ и $$D<0,$$ квадратный трёхчлен всегда положителен.

   Следовательно, $$x^2-5x+15>0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}.$$

2. $$x^2+5x-36\ge 0$$

   Найдём корни уравнения $$x^2+5x-36=0$$:

   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-36)=25+144=169=13^2,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{2},$$

   $$x_1=4,\qquad x_2=-9.$$

   Тогда

   $$x^2+5x-36=(x-4)(x+9).$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$x\le -9 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

3. $$x^2-12x+27\le 0$$

   Найдём корни уравнения $$x^2-12x+27=0$$:

   $$D=(-12)^2-4\cdot 1\cdot 27=144-108=36=6^2,$$

   $$x_{1,2}=\frac{12\pm 6}{2},$$

   $$x_1=9,\qquad x_2=3.$$

   Тогда

   $$x^2-12x+27=(x-9)(x-3).$$

   При $$\le 0$$ получаем промежуток между корнями, включая концы:

   $$x\in[3;9].$$

4. $$x^2-7x+20<0$$

   Вычислим дискриминант:

   $$D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot 20=49-80=-31<0.$$

   Так как $$a=1>0$$ и $$D<0,$$ выражение $$x^2-7x+20$$ всегда положительно.

   Значит, решений нет.

Ответ: а) $$x\in\mathbb{R}$$; б) $$x\le -9$$ или $$x\ge 4$$; в) $$x\in[3;9]$$; г) решений нет.