Упр.32.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите действительные числа $$a$$ и $$b$$, для которых верно равенство $$z=az_1+bz_2$$, если:
   а) $$z_1=1$$, $$z_2=1+i$$, $$z=5+2i$$;
   б) $$z_1=-2+i$$, $$z_2=3-i$$, $$z=i$$;
   в) $$z_1=1+i$$, $$z_2=1-i$$, $$z=3+5i$$;
   г) $$z_1=4-i$$, $$z_2=-7+2i$$, $$z=1$$.

Пусть $$z_1=x_1+y_1i,\quad z_2=x_2+y_2i,\quad z=x+yi.$$ Тогда из равенства $$z=az_1+bz_2$$ при действительных $$a$$ и $$b$$ получаем систему по действительной и мнимой частям.

1. $$z_1=1,\quad z_2=1+i,\quad z=5+2i.$$

   $$a\cdot 1+b(1+i)=a+b+bi=(a+b)+bi.$$

   Сравнивая части, имеем

   $$\begin{cases} a+b=5,\\ b=2. \end{cases}$$

   Отсюда $$a=3.$$

2. $$z_1=-2+i,\quad z_2=3-i,\quad z=i.$$

   $$a(-2+i)+b(3-i)=(-2a+3b)+(a-b)i.$$

   Тогда

   $$\begin{cases} -2a+3b=0,\\ a-b=1. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$a=b+1$$. Подставим в первое:

   $$-2(b+1)+3b=0,$$

   $$b=2,\quad a=3.$$

3. $$z_1=1+i,\quad z_2=1-i,\quad z=3+5i.$$

   $$a(1+i)+b(1-i)=(a+b)+(a-b)i.$$

   Получаем систему

   $$\begin{cases} a+b=3,\\ a-b=5. \end{cases}$$

   Складывая уравнения, находим $$2a=8,$$ значит $$a=4.$$ Тогда $$b=-1.$$

4. $$z_1=4-i,\quad z_2=-7+2i,\quad z=1.$$

   $$a(4-i)+b(-7+2i)=(4a-7b)+(-a+2b)i.$$

   Следовательно,

   $$\begin{cases} 4a-7b=1,\\ -a+2b=0. \end{cases}$$

   Из второго уравнения $$a=2b.$$ Подставим в первое:

   $$8b-7b=1,$$

   $$b=1,\quad a=2.$$

Ответ: а) $$a=3,\ b=2$$; б) $$a=3,\ b=2$$; в) $$a=4,\ b=-1$$; г) $$a=2,\ b=1$$.