Упр.32.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что число $$z_1+az_2$$, $$a\in\mathbb{R}$$, является действительным. Найдите $$a$$, если:
   а) $$z_1=3+i,\quad z_2=6-i$$;
   б) $$z_1=12-13i,\quad z_2=(3+i)^2$$;
   в) $$z_1=8+3i,\quad z_2=-1-2i$$;
   г) $$z_1=i,\quad z_2=(2-3i)^2$$.

Чтобы число $$z_1+az_2$$ было действительным, его мнимая часть должна быть равна нулю.

1. $$z_1=3+i,\quad z_2=6-i$$

   $$z_1+az_2=(3+i)+a(6-i)=(3+6a)+(1-a)i$$

   $$1-a=0 \Rightarrow a=1$$

2. $$z_1=12-13i,\quad z_2=(3+i)^2$$

   $$z_2=(3+i)^2=9+6i+i^2=8+6i$$

   $$z_1+az_2=(12-13i)+a(8+6i)=(12+8a)+(6a-13)i$$

   $$6a-13=0 \Rightarrow a=\frac{13}{6}$$

3. $$z_1=8+3i,\quad z_2=-1-2i$$

   $$z_1+az_2=(8+3i)+a(-1-2i)=(8-a)+(3-2a)i$$

   $$3-2a=0 \Rightarrow a=\frac{3}{2}$$

4. $$z_1=i,\quad z_2=(2-3i)^2$$

   $$z_2=(2-3i)^2=4-12i+9i^2=-5-12i$$

   $$z_1+az_2=i+a(-5-12i)=-5a+(1-12a)i$$

   $$1-12a=0 \Rightarrow a=\frac{1}{12}$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$\frac{13}{6}$$; в) $$\frac{3}{2}$$; г) $$\frac{1}{12}$$.