Упр.32.14 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Известно, что сумма действительной и мнимой частей комплексного числа $$az$$, $$a\in\mathbb{R}$$, равна 1. Найдите $$a$$, если:
а) $$z=1+i$$;
б) $$z=7+3i$$;
в) $$z=13-23i$$;
г) $$z=1-i$$.

Пусть $$az$$ — комплексное число. Тогда его действительная и мнимая части находятся по формуле произведения на действительное число $$a$$.

1. Если $$z=1+i$$, то

   $$az=a(1+i)=a+ai.$$

   Сумма действительной и мнимой частей равна

   $$a+a=1,$$

   откуда

   $$2a=1,\quad a=0{,}5.$$

2. Если $$z=7+3i$$, то

   $$az=a(7+3i)=7a+3ai.$$

   Тогда

   $$7a+3a=1,$$

   $$10a=1,\quad a=0{,}1.$$

3. Если $$z=13-23i$$, то

   $$az=a(13-23i)=13a-23ai.$$

   Получаем

   $$13a-23a=1,$$

   $$-10a=1,\quad a=-0{,}1.$$

4. Если $$z=1-i$$, то

   $$az=a(1-i)=a-ai.$$

   Сумма действительной и мнимой частей равна

   $$a+(-a)=1,$$

   то есть

   $$0=1.$$

   Такого числа $$a$$ не существует.

Ответ

а) $$0{,}5$$; б) $$0{,}1$$; в) $$-0{,}1$$; г) не существует.