Упр.32.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным $$3-2i$$, и разностью, равной $$-1+i$$. а) Составьте формулу $$n$$-го члена прогрессии; б) найдите значение $$15$$-го члена прогрессии; в) найдите сумму первых $$20$$ членов этой прогрессии; г) найдите сумму членов прогрессии с $$10$$-го до $$40$$-го.

Дана арифметическая прогрессия: $$a_1=3-2i,\quad d=-1+i.$$

Ход решения

а) Формула n-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1).$$

Тогда

$$a_n=(3-2i)+(-1+i)(n-1)$$

$$a_n=3-2i-n+1+in-i$$

$$a_n=(4-n)+(n-3)i.$$

б) Найдём 15-й член:

$$a_{15}=a_1+14d=(3-2i)+14(-1+i)$$

$$a_{15}=3-2i-14+14i=-11+12i.$$

в) Сумма первых 20 членов:

$$S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20$$

$$S_{20}=\frac{2(3-2i)+19(-1+i)}{2}\cdot 20$$

$$S_{20}=\frac{6-4i-19+19i}{2}\cdot 20$$

$$S_{20}=(-13+15i)\cdot 10=-130+150i.$$

г) Найдём сумму членов с 10-го по 40-й:

$$S_{10-40}=S_{40}-S_9.$$

Вычислим:

$$S_9=\frac{2a_1+d(9-1)}{2}\cdot 9 =\frac{2(3-2i)+8(-1+i)}{2}\cdot 9$$

$$S_9=\frac{6-4i-8+8i}{2}\cdot 9 =\frac{-2+4i}{2}\cdot 9 =(-1+2i)\cdot 9=-9+18i.$$

$$S_{40}=\frac{2a_1+d(40-1)}{2}\cdot 40 =\frac{2(3-2i)+39(-1+i)}{2}\cdot 40$$

$$S_{40}=\frac{6-4i-39+39i}{2}\cdot 40 =\frac{-33+35i}{2}\cdot 40 =(-33+35i)\cdot 20=-660+700i.$$

Тогда

$$S_{10-40}=(-660+700i)-(-9+18i)=-651+682i.$$

Ответ

а) $$a_n=(4-n)+(n-3)i$$

б) $$a_{15}=-11+12i$$

в) $$S_{20}=-130+150i$$

г) $$S_{10-40}=-651+682i$$