Упр.31.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: $$8\sin6 х + 3\cos 2х + 2\cos 4х + 1 = 0.$$

Преобразуем уравнение, используя формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:

$$8\sin^6 x+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0$$

$$8\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^3+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0$$

$$\left(1-\cos 2x\right)^3+3\cos 2x+2\cos 4x+1=0$$

Так как $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1,$$ получаем:

$$\left(1-\cos 2x\right)^3+3\cos 2x+2\left(2\cos^2 2x-1\right)+1=0$$

Положим $$y=\cos 2x.$$ Тогда:

$$\left(1-y\right)^3+3y+2\left(2y^2-1\right)+1=0$$

$$1-3y+3y^2-y^3+3y+4y^2-2+1=0$$

$$7y^2-y^3=0$$

$$y^2(7-y)=0$$

Отсюда:

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=7.$$

Но $$y=\cos 2x,$$ а значит $$\cos 2x=7$$ решений не имеет, так как $$|\cos 2x|\le 1.$$

Остаётся:

$$\cos 2x=0.$$

Тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$