Упр.31.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\operatorname{tg}(x-15^\circ)\operatorname{ctg}(x+15^\circ)=\frac{1}{3}$$

Преобразуем левую часть:

$$\tg(x-15^\circ)\cdot \ctg(x+15^\circ)=\frac13$$

$$\frac{\sin(x-15^\circ)}{\cos(x-15^\circ)}\cdot \frac{\cos(x+15^\circ)}{\sin(x+15^\circ)}=\frac13$$

$$\frac{\sin(x-15^\circ)\cos(x+15^\circ)}{\cos(x-15^\circ)\sin(x+15^\circ)}=\frac13$$

Используем формулы:

$$\sin A\cos B=\frac12\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr),$$

$$\cos A\sin B=\frac12\bigl(\sin(A+B)-\sin(A-B)\bigr).$$

Тогда

$$\frac{\frac12(\sin 2x+\sin(-30^\circ))}{\frac12(\sin 2x-\sin(-30^\circ))}=\frac13,$$

то есть

$$\frac{\sin 2x-\sin 30^\circ}{\sin 2x+\sin 30^\circ}=\frac13.$$

Так как $$\sin 30^\circ=\frac12,$$ получаем

$$\frac{\sin 2x-\frac12}{\sin 2x+\frac12}=\frac13.$$

Перемножим крест-накрест:

$$3\left(\sin 2x-\frac12\right)=\sin 2x+\frac12,$$

$$3\sin 2x-\frac32=\sin 2x+\frac12,$$

$$2\sin 2x=2,$$

$$\sin 2x=1.$$

Отсюда

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$