Упр.31.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin^2\frac{x}{2}+\sin^2x+\sin^2\frac{5x}{2}+\sin^22x=2$$;
   б) $$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x=2$$.

а) $$\sin^2\frac{x}{2}+\sin^2x+\sin^2\frac{5x}{2}+\sin^22x=2.$$

Преобразуем по формуле $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}:$$

$$\frac{1-\cos x}{2}+\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 5x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}=2,$$

$$4-\cos x-\cos 2x-\cos 4x-\cos 5x=4,$$

$$\cos x+\cos 2x+\cos 4x+\cos 5x=0.$$

Сгруппируем и применим формулу суммы косинусов:

$$2\cos\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2}+2\cos\frac{4x+2x}{2}\cos\frac{4x-2x}{2}=0,$$

$$2\cos 3x\cos 2x+2\cos 3x\cos x=0,$$

$$2\cos 3x(\cos 2x+\cos x)=0,$$

$$2\cos 3x\cdot 2\cos\frac{2x+x}{2}\cos\frac{2x-x}{2}=0,$$

$$4\cos 3x\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}=0.$$

Отсюда:

$$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=0.$$

1) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi(1+2n)}{6}.$$

2) $$\cos\frac{3x}{2}=0 \Rightarrow \frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi(1+2n)}{3}.$$

3) $$\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi(1+2n).$$

б) $$\cos^2x+\cos^22x+\cos^23x+\cos^24x=2.$$

Преобразуем по формуле $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}:$$

$$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}=2,$$

$$4+\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=4,$$

$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x=0.$$

Сгруппируем:

$$2\cos 5x\cos 3x+2\cos 5x\cos x=0,$$

$$2\cos 5x(\cos 3x+\cos x)=0,$$

$$2\cos 5x\cdot 2\cos 2x\cos x=0,$$

$$4\cos 5x\cos 2x\cos x=0.$$

Отсюда:

$$\cos 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

1) $$\cos 5x=0 \Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi(1+2n)}{10}.$$

2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi(1+2n)}{4}.$$

3) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi(1+2n)}{6},\ \frac{\pi(1+2n)}{3},\ \pi(1+2n),\ n\in\mathbb{Z};$$

б) $$x=\frac{\pi(1+2n)}{10},\ \frac{\pi(1+2n)}{4},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$