Упр.31.5 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$8\sin^2\frac{x}{2}-3\sin x-4=0$$; б) $$4\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=1{,}5+\sin x$$.

а) $$8\sin^2\frac{x}{2}-3\sin x-4=0.$$

Используем формулу $$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}.$$ Тогда

$$8\cdot \frac{1-\cos x}{2}-3\sin x-4=0,$$

$$4-4\cos x-3\sin x-4=0,$$

$$3\sin x+4\cos x=0.$$

Делим на $$\cos x$$:

$$3\tan x+4=0,$$

$$\tan x=-\frac{4}{3}.$$

Отсюда

$$x=-\arctg\frac{4}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$4\sin^2\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}=1{,}5+\sin x.$$

Преобразуем левую часть, используя формулы

$$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2},\qquad \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}.$$

Тогда

$$4\cdot \frac{1-\cos x}{2}-\frac{1+\cos x}{2}=1{,}5+\sin x,$$

$$2-2\cos x-0{,}5-0{,}5\cos x=1{,}5+\sin x,$$

$$2{,}5\sin x+2{,}5\cos x=0,$$

$$\sin x+\cos x=0.$$

Делим на $$\cos x$$:

$$\tan x=-1.$$

Следовательно,

$$x=-\arctg 1+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=-\arctg\frac{4}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$