Упр.31.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) Пусть $$\sqrt{a\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x.$$
Подставим $$x=0$$. Тогда
$$\sqrt{a\cos 0-3\sin 0}=\cos 0,$$
$$\sqrt{a}=1,$$
откуда $$a=1.$$
Тогда уравнение принимает вид
$$\sqrt{\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\cos 2x-3\sin 2x=\cos^2 x.$$
Используем формулы $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$\cos^2 x-\sin^2 x-6\sin x\cos x=\cos^2 x,$$
$$\sin^2 x+6\sin x\cos x=0,$$
$$\sin x(\sin x+6\cos x)=0.$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+6\cos x=0.$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ но с учётом исходного уравнения нужно $$\cos x\ge 0,$$ значит
$$x=2\pi n.$$
2) $$\sin x+6\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-6,$$
$$x=-\arctg 6+\pi n.$$
Проверка показывает, что подходят значения при $$\cos x\ge 0,$$ то есть
$$x=-\arctg 6+2\pi n.$$
Итак, при $$a=1$$ решения уравнения:
$$x=2\pi n,\quad x=-\arctg 6+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Пусть
$$\sqrt{2\sin 2x-a\cos 2x+\sin x}=0.$$
Подставим $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$. Тогда
$$\sqrt{2\sin(-\pi)-a\cos(-\pi)+\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)}=0,$$
$$\sqrt{-2\cdot 0-a\cdot(-1)-1}=0,$$
$$\sqrt{a-1}=0,$$
откуда $$a=1.$$
Тогда уравнение имеет вид
$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x+\sin x}=0.$$
Так как корень равен нулю, то
$$2\sin 2x-\cos 2x+\sin x=0.$$
Преобразуем:
$$4\sin x\cos x-(\cos^2 x-\sin^2 x)+\sin x=0,$$
$$4\sin x\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x+\sin x=0.$$
Используя $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, получаем
$$4\sin x\cos x-2\cos^2 x+\sin x+1=0.$$
Удобнее сразу перейти к разложению:
$$\cos x(4\sin x-\cos x)=0.$$
Отсюда:
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+\pi n;$$
2) $$4\sin x-\cos x=0 \Rightarrow 4\tg x=1 \Rightarrow \tg x=\dfrac14,$$
$$x=\arctg \dfrac14+\pi n.$$
С учётом условия подкоренное выражение неотрицательно, получаем решения
$$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\pi+\arctg \dfrac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$a=1,$$ $$x=2\pi n,\; x=-\arctg 6+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$a=1,$$ $$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=\pi+\arctg \dfrac14+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
