Упр.31.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Дано уравнение с параметром $$a$$: $$\sqrt{a\cos 2x-3\sin 2x}=\cos x$$. Известно, что $$x=0$$ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.
   б) Дано уравнение с параметром $$a$$: $$\sqrt{2\sin 2x-a\cos 2x}+\sin x=0$$. Известно, что $$x=-\frac{\pi}{2}$$ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.

Обозначим $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$\sqrt{2}\,(\sin x+\cos x)=4\sin x\cos x$$

преобразуем левую часть:

$$\sqrt{2}\,(\sin x+\cos x)=\sqrt{2+2}\,\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Правая часть:

$$4\sin x\cos x=2\cdot 2\sin x\cos x=2\sin 2x.$$

Получаем уравнение

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2\sin 2x,$$

или

$$\sin 2x-\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

По формуле разности синусов:

$$2\sin\left(\frac{2x-\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2}\right)\cos\left(\frac{2x+\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{2}\right)=0,$$

то есть

$$2\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0.$$

Отсюда

1. $$\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)=0,$$

   $$\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}=\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\cos\left(\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)=0,$$

   $$\frac{3x}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$