Упр.31.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\operatorname{tg}\frac{\pi x}{1+x^2}+\sin\frac{2\pi x}{1+x^2}=2$$

Пусть $$y=\tg\frac{\pi x}{1+x^2}.$$ Тогда

$$\sin\frac{2\pi x}{1+x^2}=\frac{2\tg\frac{\pi x}{1+x^2}}{1+\tg^2\frac{\pi x}{1+x^2}}=\frac{2y}{1+y^2}.$$

Исходное уравнение принимает вид

$$y+\frac{2y}{1+y^2}=2.$$

Умножим на $$1+y^2$$:

$$y(1+y^2)+2y=2(1+y^2),$$

$$y^3+3y-2-2y^2=0,$$

$$y^3-2y^2+3y-2=0,$$

$$y^2(y-1)-y(2y-3)+2(y-1)=0.$$

Удобнее разложить так:

$$y^3-2y^2+3y-2=(y-1)(y^2-y+2).$$

Тогда

$$(y-1)(y^2-y+2)=0.$$

Из уравнения $$y^2-y+2=0$$ действительных корней нет, так как

$$D=1-8=-7<0.$$

Значит,

$$y=1,$$

то есть

$$\tg\frac{\pi x}{1+x^2}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi x}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $$\pi$$:

$$\frac{x}{1+x^2}=\frac14+n.$$

Перемножим:

$$4x=(1+x^2)(1+4n),$$

$$(4n+1)x^2-4x+(4n+1)=0.$$

Для существования действительных корней нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

$$D=16-4(4n+1)^2\ge 0,$$

$$16-(4n+1)^2\ge 0,$$

$$-(4n-3)(4n+5)\ge 0,$$

$$-\frac54\le n\le \frac34.$$

Так как $$n\in\mathbb Z,$$ получаем $$n=0.$$

Тогда

$$x^2-4x+1=0,$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=2\pm\sqrt3.$$

Ответ

$$x=2\pm\sqrt3.$$