Упр.31.45 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$\sin\left(\pi\sqrt{5-x^2}\right)=0{,}5$$; б) $$\cos\left(\pi\sqrt{7-x^2}\right)=-0{,}5$$.

а) Пусть $$t=\pi\sqrt{5-x^2}.$$ Тогда

$$\sin t=\frac12.$$

Общее решение:

$$t=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $$\pi$$:

$$\sqrt{5-x^2}=(-1)^n\frac16+n.$$

Так как $$0\le \sqrt{5-x^2}\le \sqrt5,$$ подходят только значения:

$$\sqrt{5-x^2}=\frac16,\quad \frac56,\quad \frac{13}{6}.$$

1) Если $$\sqrt{5-x^2}=\frac16,$$ то

$$5-x^2=\frac1{36},\qquad x^2=\frac{179}{36},\qquad x=\pm\frac{\sqrt{179}}{6}.$$

2) Если $$\sqrt{5-x^2}=\frac56,$$ то

$$5-x^2=\frac{25}{36},\qquad x^2=\frac{155}{36},\qquad x=\pm\frac{\sqrt{155}}{6}.$$

3) Если $$\sqrt{5-x^2}=\frac{13}{6},$$ то

$$5-x^2=\frac{169}{36},\qquad x^2=\frac{11}{36},\qquad x=\pm\frac{\sqrt{11}}{6}.$$

б) Пусть $$t=\pi\sqrt{7-x^2}.$$ Тогда

$$\cos t=-\frac12.$$

Общее решение:

$$t=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим на $$\pi$$:

$$\sqrt{7-x^2}=\pm\frac23+2n.$$

Так как $$0\le \sqrt{7-x^2}\le \sqrt7,$$ получаем возможные значения:

$$\sqrt{7-x^2}=\frac23,\quad \frac43.$$

1) Если $$\sqrt{7-x^2}=\frac23,$$ то

$$7-x^2=\frac49,\qquad x^2=\frac{59}{9},\qquad x=\pm\frac{\sqrt{59}}{3}.$$

2) Если $$\sqrt{7-x^2}=\frac43,$$ то

$$7-x^2=\frac{16}{9},\qquad x^2=\frac{47}{9},\qquad x=\pm\frac{\sqrt{47}}{3}.$$

Ответ

а) $$x=\pm\frac{\sqrt{179}}{6},\ \pm\frac{\sqrt{155}}{6},\ \pm\frac{\sqrt{11}}{6}.$$

б) $$x=\pm\frac{\sqrt{59}}{3},\ \pm\frac{\sqrt{47}}{3}.$$