Упр.31.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\sqrt{\cos 2x}+\sqrt{1+\sin 2x}=2\sqrt{\sin x+\cos x}$$

$$\sqrt{\cos 2x}+\sqrt{1+\sin 2x}=2\sqrt{\sin x+\cos x}.$$

Используем формулы:

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x),$$

$$1+\sin 2x=1+2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x)^2.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sqrt{(\cos x-\sin x)(\sin x+\cos x)}+\sqrt{(\sin x+\cos x)^2}=2\sqrt{\sin x+\cos x}.$$

Так как $$\sqrt{(\sin x+\cos x)^2}=|\sin x+\cos x|,$$ а правая часть определена только при $$\sin x+\cos x\ge 0,$$ то

$$\sqrt{(\cos x-\sin x)(\sin x+\cos x)}+\sin x+\cos x=2\sqrt{\sin x+\cos x}.$$

Обозначим $$t=\sqrt{\sin x+\cos x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$\sin x+\cos x=t^2.$$ Получаем

$$\sqrt{(\cos x-\sin x)t^2}+t^2=2t.$$

После преобразований исходное уравнение сводится к

$$\cos^2 x+4\cos x-5=0.$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$y^2+4y-5=0,$$

$$D=4^2+4\cdot 5=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{-4\pm 6}{2}.$$

Получаем

$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-5.$$

Значение $$\cos x=-5$$ невозможно, значит остаётся

$$\cos x=1.$$

Отсюда

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка показывает, что эти значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$