Упр.31.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\left(\operatorname{ctg}\frac{x}{2}-\frac{2}{3}\sin x\right)\sqrt{4x-x^2+5}=0$$;

б) $$\left(2\sin 2x-\operatorname{tg}x\right)\sqrt{2-x-x^2}=0$$.

а) Рассмотрим произведение:

$$\left(\ctg \frac{x}{2}-\frac{2}{3}\sin x\right)\sqrt{4x-x^2+5}=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, при этом нужно учесть ОДЗ:

$$4x-x^2+5\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2-4x-5\le 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (x+1)(x-5)\le 0,$$

откуда

$$-1\le x\le 5.$$

1) Решим уравнение

$$\ctg \frac{x}{2}-\frac{2}{3}\sin x=0.$$

Используем формулу

$$\ctg \frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}.$$

Тогда

$$\frac{1+\cos x}{\sin x}-\frac{2}{3}\sin x=0,$$

$$3(1+\cos x)-2\sin^2 x=0,$$

$$3+3\cos x-2(1-\cos^2 x)=0,$$

$$2\cos^2 x+3\cos x+1=0.$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+3y+1=0,$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$

$$y_1=\frac{-3-1}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-3+1}{4}=-\frac12.$$

Следовательно,

$$\cos x=-1 \;\Longrightarrow\; x=\pi+2\pi n,$$

$$\cos x=-\frac12 \;\Longrightarrow\; x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

С учетом ОДЗ $$-1\le x\le 5$$ получаем:

$$x=-1,\;\frac{2\pi}{3},\;\pi,\;\frac{4\pi}{3},\;5.$$

б) Рассмотрим произведение:

$$\left(2\sin 2x-\tg x\right)\sqrt{2-x-x^2}=0.$$

ОДЗ:

$$2-x-x^2\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x^2+x-2\le 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; (x+2)(x-1)\le 0,$$

откуда

$$-2\le x\le 1.$$

1) Решим уравнение

$$2\sin 2x-\tg x=0.$$

Используем формулу

$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}.$$

Тогда

$$2\sin 2x-\frac{\sin x}{\cos x}=0,$$

$$4\sin x\cos x-\frac{\sin x}{\cos x}=0,$$

$$\sin x\,(4\cos^2 x-1)=0.$$

Отсюда

$$\sin x=0 \;\Longrightarrow\; x=\pi n,$$

$$4\cos^2 x-1=0 \;\Longrightarrow\; \cos x=\pm \frac12.$$

Тогда

$$\cos x=\frac12 \;\Longrightarrow\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\cos x=-\frac12 \;\Longrightarrow\; x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

С учетом ОДЗ $$-2\le x\le 1$$ получаем:

$$x=-2,\;-\frac{\pi}{3},\;0,\;1.$$

Ответ

а) $$-1,\;\frac{2\pi}{3},\;\pi,\;\frac{4\pi}{3},\;5.$$

б) $$-2,\;-\frac{\pi}{3},\;0,\;1.$$