Упр.31.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\sqrt{25-4x^2}\left(3\sin 2\pi x+8\sin \pi x\right)=0$$; б) $$\sqrt{49-4x^2}\left(\sin \pi x+\frac{3\cos(\pi x)}{2}\right)=0$$.
а) Рассмотрим произведение
$$\sqrt{25-4x^2}\,(3\sin 2\pi x+8\sin \pi x)=0.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $$\sqrt{25-4x^2}=0,$$ тогда
$$25-4x^2=0,$$
$$4x^2=25,$$
$$x=\pm \frac52.$$
2) $$3\sin 2\pi x+8\sin \pi x=0.$$
Используем формулу $$\sin 2\pi x=2\sin \pi x\cos \pi x$$:
$$6\sin \pi x\cos \pi x+8\sin \pi x=0,$$
$$2\sin \pi x\,(3\cos \pi x+4)=0.$$
Отсюда
$$\sin \pi x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos \pi x+4=0.$$
Уравнение $$3\cos \pi x+4=0$$ не имеет корней, так как $$\cos \pi x=-\frac43$$ невозможно.
Значит,
$$\sin \pi x=0,$$
$$\pi x=\pi n,$$
$$x=n,\quad n\in \mathbb Z.$$
Теперь учтём область определения:
$$25-4x^2\ge 0,$$
$$- \frac52 \le x \le \frac52.$$
Из целых чисел сюда подходят $$x=-2,-1,0,1,2.$$
Итак, для пункта а) получаем:
$$x=\pm \frac52,\ \pm 2,\ \pm 1,\ 0.$$
б) Рассмотрим произведение
$$\sqrt{49-4x^2}\left(\sin \pi x+3\cos \frac{\pi x}{2}\right)=0.$$
1) $$\sqrt{49-4x^2}=0,$$ тогда
$$49-4x^2=0,$$
$$4x^2=49,$$
$$x=\pm \frac72.$$
2) $$\sin \pi x+3\cos \frac{\pi x}{2}=0.$$
Преобразуем $$\sin \pi x=2\sin \frac{\pi x}{2}\cos \frac{\pi x}{2}$$:
$$2\sin \frac{\pi x}{2}\cos \frac{\pi x}{2}+3\cos \frac{\pi x}{2}=0,$$
$$\cos \frac{\pi x}{2}\left(2\sin \frac{\pi x}{2}+3\right)=0.$$
Отсюда
$$\cos \frac{\pi x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 2\sin \frac{\pi x}{2}+3=0.$$
Уравнение $$2\sin \frac{\pi x}{2}+3=0$$ не имеет корней, так как $$\sin \frac{\pi x}{2}=-\frac32$$ невозможно.
Значит,
$$\cos \frac{\pi x}{2}=0,$$
$$\frac{\pi x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=1+2n,\quad n\in \mathbb Z.$$
С учётом области определения
$$49-4x^2\ge 0,$$
$$-\frac72 \le x \le \frac72,$$
получаем $$x=-3,-1,1,3.$$
Итак, для пункта б):
$$x=\pm \frac72,\ \pm 3,\ \pm 1.$$
Ответ
а) $$x=\pm \frac52,\ \pm 2,\ \pm 1,\ 0.$$
б) $$x=\pm \frac72,\ \pm 3,\ \pm 1.$$
