Упр.31.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\sqrt{9-2}\,(\sin 2x-3\cos x)=0$$

Рассмотрим уравнение:

$$\sqrt{9-x^2}\,(\sin 2x-3\cos x)=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $$\sqrt{9-x^2}=0.$$

   Тогда

   $$9-x^2=0,$$

   $$x^2=9,$$

   $$x=\pm 3.$$

2. $$\sin 2x-3\cos x=0.$$

   Преобразуем:

   $$2\sin x\cos x-3\cos x=0,$$

   $$\cos x(2\sin x-3)=0.$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-3=0.$$

   Если $$\cos x=0,$$ то

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   Если $$2\sin x-3=0,$$ то

   $$\sin x=\frac{3}{2},$$

   что невозможно, так как $$|\sin x|\le 1.$$

Проверим область допустимых значений:

$$9-x^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad -3\le x\le 3.$$

Из решений вида $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ в этот промежуток попадает только $$x=\frac{\pi}{2}$$ и $$x=-\frac{\pi}{2}.$$

Итак, решения уравнения:

$$x=\pm 3,\ \pm \frac{\pi}{2}.$$

Ответ: $$x=\pm 3,\ \pm \frac{\pi}{2}.$$