Упр.31.4 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$2\cos^2 5x+\cos 3x=1$$; б) $$\sin 5x+\sin x+2\cos^2 x=1$$.

а) $$2\cos^2 5x+\cos 3x=1$$

Используем формулу $$\cos^2 5x=\frac{1+\cos 10x}{2}$$:

$$2\cdot \frac{1+\cos 10x}{2}+\cos 3x=1$$

$$1+\cos 10x+\cos 3x=1$$

$$\cos 10x+\cos 3x=0$$

Применим формулу суммы косинусов:

$$2\cos \frac{10x+3x}{2}\cos \frac{10x-3x}{2}=0$$

$$2\cos \frac{13x}{2}\cos \frac{7x}{2}=0$$

Отсюда:

$$\cos \frac{13x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{7x}{2}=0$$

1) $$\frac{13x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}$$, значит

$$x=\frac{\pi}{13}+\frac{2\pi n}{13}$$

2) $$\frac{7x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}$$, значит

$$x=\frac{\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7}$$

б) $$\sin 5x+\sin x+2\cos^2 x=1$$

Преобразуем сумму синусов и квадрат косинуса:

$$2\sin 3x\cos 2x+\frac{1+\cos 2x}{1}=1$$

Удобнее записать так:

$$2\sin 3x\cos 2x+\cos 2x+1=1$$

$$\cos 2x\,(2\sin 3x+1)=0$$

Следовательно,

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 3x+1=0$$

1) $$\cos 2x=0$$, тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}$$, значит

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2) $$2\sin 3x+1=0$$, тогда

$$\sin 3x=-\frac12$$

Отсюда

$$3x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in \mathbb{Z}$$

и значит

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{13}+\frac{2\pi n}{13},\ \frac{\pi}{7}+\frac{2\pi n}{7},\ n\in \mathbb{Z}$$;

б) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ (-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\ n\in \mathbb{Z}$$.