Упр.31.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\cos 2x\left(1-\frac{3}{4}\sin^2 2x\right)=1$$

Преобразуем уравнение:

$$\cos 2x\left(1-\frac34\sin^2 2x\right)=1.$$

Так как $$\cos 2x\le 1$$ и $$1-\frac34\sin^2 2x\le 1,$$ то произведение двух множителей, каждый из которых не превосходит $$1,$$ может быть равно $$1$$ только тогда, когда оба множителя равны $$1$$.

Получаем систему:

$$\begin{cases} \cos 2x=1,\\ 1-\frac34\sin^2 2x=1. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$\sin^2 2x=0,$$

то есть

$$\sin 2x=0.$$

Тогда

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

и, следовательно,

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

Проверим первое уравнение: при $$x=\frac{\pi n}{2}$$ имеем $$\cos 2x=\cos \pi n=1$$ только при чётных $$n$$, то есть при $$n=2k$$.

Значит,

$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$