Упр.31.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\sin 5x+\sin x=2+2\cos^2 x$$

Преобразуем правую часть:

$$2+2\cos^2 x=2+2\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=3+\cos 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sin 5x+\sin x-\cos 2x=3.$$

Так как $$\sin 5x\le 1,$$ $$\sin x\le 1,$$ $$-\cos 2x\le 1,$$ то левая часть не превосходит $$3.$$

Равенство возможно только тогда, когда одновременно

$$\sin 5x=1,\qquad \sin x=1,\qquad \cos 2x=-1.$$

Из $$\sin x=1$$ получаем

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Проверим это значение в остальных условиях:

$$\sin 5x=\sin\left(5\cdot \frac{\pi}{2}+10\pi n\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1,$$

$$\cos 2x=\cos\left(\pi+4\pi n\right)=-1.$$

Значит, все условия выполняются.

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$