Упр.31.35 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$6\operatorname{tg}x+5\operatorname{ctg}3x=\operatorname{tg}2x$$

$$6\tg x+5\ctg 3x=\tg 2x$$

Перенесём $$\tg x$$ вправо и преобразуем дроби:

$$5(\tg x+\ctg 3x)=\tg 2x-\tg x$$

$$5\left(\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos 3x}{\sin 3x}\right)=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\frac{\sin x}{\cos x}$$

$$5\cdot \frac{\sin x\sin 3x+\cos 3x\cos x}{\cos x\sin 3x}=\frac{\sin 2x\cos x-\sin x\cos 2x}{\cos 2x\cos x}$$

$$5\cdot \frac{\cos(3x-x)}{\sin 3x}=\frac{\sin(2x-x)}{\cos 2x}$$

$$5\cdot \frac{\cos 2x}{\sin 3x}=\frac{\sin x}{\cos 2x}$$

$$5\cos^2 2x=\sin x\sin 3x$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin x\sin 3x=\frac{\cos(3x-x)-\cos(3x+x)}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}$$

Тогда

$$10\cos^2 2x=\cos 2x-\cos 4x$$

$$10\cos^2 2x=\cos 2x-\left(2\cos^2 2x-1\right)$$

$$12\cos^2 2x-\cos 2x-1=0$$

Введём замену $$t=\cos 2x$$. Получаем квадратное уравнение:

$$12t^2-t-1=0$$

$$D=1+48=49$$

$$t_{1,2}=\frac{1\pm 7}{24}$$

$$t_1=-\frac14,\qquad t_2=\frac13$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) Если $$\cos 2x=-\frac14$$, то

$$2x=\pm \arccos\left(-\frac14\right)+2\pi n$$

$$x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac14\right)+\pi n$$

2) Если $$\cos 2x=\frac13$$, то

$$2x=\pm \arccos\left(\frac13\right)+2\pi n$$

$$x=\pm \frac12\arccos\left(\frac13\right)+\pi n$$

Ответ: $$x=\pm \frac12\arccos\left(-\frac14\right)+\pi n,\; x=\pm \frac12\arccos\left(\frac13\right)+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$