Упр.31.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$2\operatorname{ctg} 3x-2\operatorname{tg} 3x-4\operatorname{tg} 6x=1$$; б) $$\operatorname{ctg} x-\operatorname{tg} x-2\operatorname{tg} 2x-4\operatorname{tg} 4x=8\operatorname{tg} 8x$$.

Используем формулу

$$\ctg a-\tg a=\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{\sin a\cos a}=\frac{\cos 2a}{\frac12\sin 2a}=2\ctg 2a.$$

а)

$$2\ctg 3x-2\tg 3x-4\tg 6x=1$$

Сгруппируем первые два слагаемых:

$$2(\ctg 3x-\tg 3x)-4\tg 6x=1.$$

По формуле выше:

$$2\cdot 2\ctg 6x-4\tg 6x=1,$$

то есть

$$4\ctg 6x-4\tg 6x=1.$$

Снова применим формулу:

$$4(\ctg 6x-\tg 6x)=1,$$

$$4\cdot 2\ctg 12x=1,$$

$$8\ctg 12x=1.$$

Тогда

$$\ctg 12x=\frac18,$$

$$\tg 12x=8.$$

Следовательно,

$$12x=\arctg 8+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{1}{12}\arctg 8+\frac{\pi n}{12},\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\ctg x-\tg x-2\tg 2x-4\tg 4x=8\tg 8x.$$

Перенесём всё в одну сторону и последовательно применим формулу $$\ctg a-\tg a=2\ctg 2a$$:

$$\ctg x-\tg x-2\tg 2x-4\tg 4x-8\tg 8x=0,$$

$$2\ctg 2x-2\tg 2x-2\tg 2x-4\tg 4x-8\tg 8x=0,$$

$$2(\ctg 2x-\tg 2x)-4\tg 4x-8\tg 8x=0,$$

$$4\ctg 4x-4\tg 4x-8\tg 8x=0,$$

$$4(\ctg 4x-\tg 4x)-8\tg 8x=0,$$

$$8\ctg 8x-8\tg 8x=0,$$

$$8(\ctg 8x-\tg 8x)=0,$$

$$16\ctg 16x=0.$$

Значит,

$$\ctg 16x=0,$$

$$16x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{16},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{1}{12}\arctg 8+\frac{\pi n}{12},\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{32}+\frac{\pi n}{16},\ n\in\mathbb Z.$$