Упр.31.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) $$\frac{2-\sin x+\cos 2x}{6x^2-\pi x-\pi^2}=0$$; б) $$\frac{6\sin^2 x-6\sin x+\cos 2x+1}{12x^2-8\pi x+\pi^2}=0$$.
а) Рассмотрим уравнение
$$\frac{2-\sin x+\cos 2x}{6x^2-\pi x-\pi^2}=0.$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$2-\sin x+\cos 2x=0,$$
$$6x^2-\pi x-\pi^2\ne 0.$$
Преобразуем числитель:
$$2-\sin x+\cos 2x=0$$
$$2-\sin x+\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)=0$$
$$2-\sin x+\left(1-\sin^2 x\right)-\sin^2 x=0$$
$$2\sin^2 x+\sin x-3=0.$$
Пусть $$y=\sin x$$, тогда
$$2y^2+y-3=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-1+5}{4}=1.$$
Значение $$\sin x=-\frac32$$ невозможно, значит остаётся
$$\sin x=1.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверим знаменатель:
$$6x^2-\pi x-\pi^2=0.$$
$$D=\pi^2+24\pi^2=25\pi^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{\pi\pm 5\pi}{12}.$$
Получаем
$$x_1=\frac{\pi}{2},\qquad x_2=-\frac{\pi}{3}.$$
Так как $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, то при $$n=0$$ знаменатель обращается в нуль. Следовательно, $$n\ne 0$$.
б) Рассмотрим уравнение
$$\frac{6\sin^2 x-6\sin x+\cos 2x+1}{12x^2-8\pi x+\pi^2}=0.$$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$6\sin^2 x-6\sin x+\cos 2x+1=0,$$
$$12x^2-8\pi x+\pi^2\ne 0.$$
Преобразуем числитель:
$$6\sin^2 x-6\sin x+\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)+1=0$$
$$6\sin^2 x-6\sin x+\left(1-\sin^2 x\right)-\sin^2 x+1=0$$
$$4\sin^2 x-6\sin x+2=0.$$
Пусть $$y=\sin x$$, тогда
$$4y^2-6y+2=0,$$
$$2y^2-3y+1=0.$$
$$D=9-8=1,$$
$$y_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{3+1}{4}=1.$$
1) Если $$\sin x=\frac12$$, то
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\sin x=1$$, то
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверим знаменатель:
$$12x^2-8\pi x+\pi^2=0.$$
$$D=(8\pi)^2-4\cdot 12\cdot \pi^2=16\pi^2,$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pi\pm 4\pi}{24}.$$
Получаем
$$x_1=\frac{\pi}{6},\qquad x_2=\frac{\pi}{2}.$$
Значит, из найденных корней нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю.
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,\; n\ne 0.$$
б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,\; n\ne 0;\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,\; n\ne 0.$$
