Упр.31.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\frac{\cos^2 x(1+\operatorname{ctg}x)}{\sin x-\cos x}=3\cos x$$

ОДЗ: $$\sin x-\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Преобразуем уравнение:

$$\frac{\cos^2 x\,(1+\ctg x)}{\sin x-\cos x}=3\cos x$$

$$\cos^2 x\,(1+\ctg x)-3\cos x(\sin x-\cos x)=0$$

$$\cos^2 x\left(1+\frac{\cos x}{\sin x}\right)-3\cos x\sin x+3\cos^2 x=0$$

$$\frac{\cos^2 x(\sin x+\cos x)}{\sin x}-3\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$

Умножим на $$\sin x$$:

$$\sin x\cos^2 x+\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x+3\sin x\cos^2 x=0$$

$$\cos x\bigl(\sin x\cos x+\cos^2 x-3\sin^2 x+3\sin x\cos x\bigr)=0$$

$$\cos x\,(3\sin x\cos x+\cos^2 x-3\sin^2 x)=0$$

Рассмотрим случаи.

1. $$\cos x=0,$$ тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$3\sin x\cos x+\cos^2 x-3\sin^2 x=0.$$

   Делим на $$\cos^2 x$$ $$\bigl(\cos x\ne 0\bigr)$$:

   $$3\tg x+1-3\tg^2 x=0,$$

   $$3\tg^2 x-3\tg x-1=0.$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$3t^2-3t-1=0,$$

   $$t=\frac{3\pm\sqrt{9+12}}{6}=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}.$$

   Следовательно,

   $$x=\arctg\frac{3+\sqrt{21}}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\arctg\frac{3-\sqrt{21}}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка ОДЗ показывает, что найденные значения не попадают в точки $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; \arctg\frac{3+\sqrt{21}}{6}+\pi n,\; \arctg\frac{3-\sqrt{21}}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$