Упр.31.30 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Решите уравнение: $$3\operatorname{tg}\frac{x}{2}+\operatorname{ctg}x=\frac{5}{\sin x}$$.

Используем формулу

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$3\cdot \frac{1-\cos x}{\sin x}+\ctg x=\frac{5}{\sin x}.$$

Так как $$\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},$$ получаем

$$3\cdot \frac{1-\cos x}{\sin x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{5}{\sin x}.$$

Умножим обе части на $$\sin x$$ $$\left(\sin x\neq 0\right):$$

$$3(1-\cos x)+\cos x=5.$$

Раскроем скобки и упростим:

$$3-3\cos x+\cos x=5,$$

$$-2\cos x=2,$$

$$\cos x=-1.$$

Отсюда

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Но при этих значениях $$\sin x=0,$$ а исходное уравнение не имеет смысла. Значит, найденные значения не подходят.

Ответ: $$\varnothing$$.