Упр.31.31 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\cos 2x — 3\cos x + 1 = \frac{1}{(\operatorname{ctg} 2x — \operatorname{ctg} x)\sin(x-\pi)}$$

ОДЗ: знаменатель правой части не равен нулю, то есть

$$\left(\ctg 2x-\ctg x\right)\sin(x-\pi)\ne 0.$$

Так как $$\sin(x-\pi)=-\sin x,$$ то

$$\left(\ctg 2x-\ctg x\right)\sin(x-\pi)=\left(\frac{\cos 2x}{\sin 2x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)(-\sin x).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\left(\frac{\cos 2x}{\sin 2x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)(-\sin x)= -\frac{\cos 2x\sin x-\cos x\sin 2x}{\sin 2x\sin x}\cdot \sin x.$$

По формуле $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$ получаем:

$$\cos 2x\sin x-\cos x\sin 2x=-\sin(x-2x)=\sin x,$$

значит

$$-\frac{\cos 2x\sin x-\cos x\sin 2x}{\sin 2x\sin x}\cdot \sin x =-\frac{\sin x}{\sin 2x} =-\frac{1}{2\cos x}.$$

Тогда исходное уравнение принимает вид

$$\cos 2x-3\cos x+1=-2\cos x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\cos 2x-\cos x+1=0.$$

Используем формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$2\cos^2 x-1-\cos x+1=0,$$

$$2\cos^2 x-\cos x=0,$$

$$\cos x(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

Но по ОДЗ должно быть $$\cos x\ne 0$$, а также $$\sin x\ne 0$$ и $$\sin 2x\ne 0$$. Поэтому $$\cos x=0$$ не подходит.

Остаётся

$$\cos x=\frac12,$$

откуда

$$x=2\pi k\pm \frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

Проверка ОДЗ показывает, что эти значения допустимы.

Ответ

$$x=2\pi k\pm \frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$