Упр.31.3 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1+\cos 2x$$

Преобразуем левую часть по формулам приведения и суммы косинусов:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1+\cos 2x$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-x\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\cos^2 x$$
$$2\cos\frac{\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}{2}\cdot \cos\frac{\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(\frac{\pi}{3}-x\right)}{2}=2\cos^2 x$$
$$2\cos\frac{\pi}{3}\cdot \cos x=2\cos^2 x$$
$$2\cdot \frac12 \cos x=2\cos^2 x$$
$$\cos x=2\cos^2 x$$
$$2\cos^2 x-\cos x=0$$
$$\cos x\,(2\cos x-1)=0$$

Отсюда:

1. $$\cos x=0,$$ тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\cos x-1=0,$$ тогда

   $$\cos x=\frac12,$$ значит

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$